史无前例的金融危机因何而起？数学如何杀死雷曼兄弟

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编者按:自1850年成立以来，雷曼兄弟在创造新产品、探索最新融资方式和提供最佳质量服务方面已经在世界范围内建立了良好的声誉。被《商业周刊》评为2000年最佳投资银行的全球多元化投资银行，在机构投资者整体研究实力中排名第一，被《国际金融评论》评为2002年最佳投资银行。北京时间2008年9月15日，美国第四大投资银行雷曼兄弟(Lehman Brothers)终于丢掉头盔，宣布申请破产保护。

2001年一个阳光明媚的早晨，一份投资计划落到了时任雷曼兄弟首席执行官迪克.富尔德的办公桌上。这份由一群数学和物理博士学生编辑的文件展示了如果银行投资房地产市场，它们将如何获利。这给富尔德留下了深刻的印象，并导致该行在未来五年内借入数十亿美元投资房地产市场。它成功了。房地产市场的繁荣已经将雷曼兄弟从一家中型公司转变为世界第四大投资银行。

然而，随着住房市场开始萎缩，医生们的假设开始一个接一个地丧失。投资现在成了一个错误，导致了613亿美元的惊人损失。2008年9月15日，雷曼兄弟破产，维基百科将其描述为“美国历史上最大的破产案。”

赚钱模式

假设你为雷曼兄弟工作。一天早上，你接到汇丰银行的电话:

嗨！一百个客户每年从我们这里借一百万美元。我们想为你购买保险，以防他们违约。从申请表来看，我们认为他们每个人都有3%的违约概率。多少保险是合适的？

事实上，这很容易计算:如果100个客户各有3%的违约概率，那么明年将有三个客户违约。换句话说，你明年将不得不支付300万美元。假设每年的利率是3%，明年的300万美元就值3/(3/100+1)= 3/1.03 = 291万美元。

因此，汇丰必须向您支付至少291万美元的保险费用。当然，雷曼兄弟不是慈善机构。因此，为了赚钱，他们将把价格提高一倍，达到582万美元，并期望这些交易平均能赚到291万美元。这种保险被称为信用违约互换(cds)。

传奇的cdo

看起来是安全的投资吗？请三思而后行！

放下电话后，你可能会担心如果10个借款人违约会发生什么，因为那时你将不得不支付1000万美元！在这种情况下，考虑以下计划:先付给我一定数额的保险金。如果有10个以上的违约，你只需要支付10个，我会支付其余的。如果有少于10个违约，你将不得不支付所有的违约，我不会支付任何费用。我提供的这种交易计划叫做cdo的高级文件，你得到的那个叫做cdo的初级文件。

高级装备的吸引力在于，我几乎不用一直支付任何费用，只要把我口袋里的保险费带上就行了。想象一下，超过10个借款人违约的可能性有多大！高级文件通常被认为和向政府借钱一样安全。因为高级文件提供了更好的回报，并且和把钱存入银行一样安全，所以投资者非常喜欢它。在2004年，发型的cdo只有157.4亿美元，但在2007年，这个数字增加到481.6亿美元。

它可以像银行存款一样安全，但可以获得高回报。你不觉得这有点不公平吗？

金融陷阱

是的，这不公平！事实上，cdo比银行存款风险高得多，但雷曼兄弟，像许多投资者一样，似乎没有意识到这一点。让我们回到最初的模式。第一个错误的来源是，我们认为每个投资者都有3%的违约概率。我们怎么知道的？它必须来自历史数据。问题在于，自20世纪20年代大萧条以来，全国房价从未同步下跌，因此借款人违约概率的计算是基于房价大幅上涨的好时期。然而，房地产市场在2007年崩溃了。现在，许多借款人的财产估价低于他们应该支付的贷款金额，所以许多人拒绝支付。更糟糕的是，22%的借款人是所谓的次级抵押贷款借款人——那些收入微薄、无力偿还的人。银行不怕借钱给他们，因为即使他们违约，保险公司也会赔偿损失。次级抵押贷款借款人的参与使得贷款比以前更具风险。

事实上，美国的违约风险已经翻了两番，从违约概率模型假设的3%到2007年以来的12%，这意味着风险增加了四倍。换句话说，像雷曼兄弟这样的银行遭受的打击可能比他们预期的高四倍。

事实比这更糟。比cds和cdo复杂得多的金融产品的盈利能力取决于违约概率的平方，而不是概率本身。当违约概率从0.03上升到0.12时，概率的平方从0.0009上升到0.0144，增加了16倍！

还有第二个更微妙的错误来源。出售cdo的银行保险是否能赚钱取决于借款人是否能还钱，而还钱又取决于经济状况。因此，如果经济瘫痪，你更有可能赔钱。如果你是一个积极的投资者，你也可以投资股票市场。现在，如果股市崩盘，投资于股市和cdo的资金都将损失。我们模型的错误在于，我们没有考虑cdo依赖于市场的额外风险。

如果没有意识到这两个错误，就有可能可悲地忽视cdo风险。事实上，当人们意识到信用违约互换的风险时，美林证券发行的30个信用违约互换中有27个信用违约互换的评级从aaa(最安全的投资)下调为“垃圾”。

雷曼兄弟倒闭了

可怜的雷曼兄弟当时并不知道隐藏的风险，决定大举投资cdo。它的债务与股东权益的比例甚至达到了35: 1，也就是说，它的银行账户中每36美元只有1美元，其余35美元是从其他地方借来的。这意味着，如果其资产损失3%，它将失去所有资本。在cdo遭受重大损失(超过其资产和负债的3%)后，借款人开始失去信心。由于雷曼兄弟一直依赖短期贷款，贷款人可以迅速收回现金。现在它有麻烦了。借的远远超过需要归还的，很快就失败了。2008年9月15日，世界第四大投资银行永远消失了。

hiratio boedihardjo/text；丁九/翻译

资料来源:《数学文化》，第6卷，第1期